本课程是数学类专业的核心课程之一。代数几何是数学的一个重要分支，主要研究 代数方程组解的代数结构和几何结构。它是一门充满现代数学思想和新方法的学科，其 理论深刻，算法丰富，应用广泛，是信息化、智能化时代数学和相关领域的人才必备的 数学知识和思维方法，信息安全和人工智能的多个重大问题需要用代数几何去解决。代 数几何课程旨在培养学生解方程的代数与算法思维，现代几何中流形和拓扑思维。课程 基本内容包括(复)平面射影几何、平面双有理几何、代数曲线的分类、曲线分类理论的应 用等，一学期的课程，适用于所有大学的数学专业。

       前序课程的要求较少，主要是微积 分和高等代数，懂得群、环、域、解析函数、拓扑空间等基本概念即可学习本课程。 为了部分学生进一步学习的需要，代数几何课程还包括一学期的高级课程，内容包 括复流形与向量丛基础、代数方程组理论与交换代数方法、代数簇与概型语言、层与上 同调方法、代数曲面的双有理分类等。

1. 掌握代数几何中的基本概念。如代数曲线、代数曲面、有理函数、除子群、线性 等价、亏格、重数、重点、相交数、双有理变换、线性系、有理映射、同构等。

2. 掌握代数几何中的基本计算。如相交数的计算、双有理变换的计算、爆发的计算、 曲线的奇点解消、亏格的计算、除子函数空间基的计算、椭圆曲线上加法的计算等。 

3. 掌握一些基本定理和公式的应用。比如贝祖定理、诺特基本定理、凯莱–巴哈拉赫 定理、诺特公式、亏格公式、黎曼–洛赫公式、黎曼–赫尔维茨公式等。 

4. 了解代数几何的新思想及其在数学中的意义。几何概念的代数化与代数概念的几 何化的思维。用“系数的连续变化原理”发现几何的新概念与新结果的创新思维。用理想(等 价的商环)刻画代数方程组解的结构的新思想。了解算法思维在代数几何中的重要作用， 特别地局部分析问题都可转化成向量空间维数的计算问题。

5. 了解抽象代数、复变函数、拓扑学等的发展历史和在数学中的重要地位，并且了 解代数几何的理论与方法可以应用于众多领域，比如数论、组合、编码与密码、常微分 方程以及人工智能等领域。

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  负责教师

  白承铭
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  牵头单位

  南开大学