内容提要

本教材是为了满足当代初等数论课程教学需求而编写的。全书共包含八章和一个附录, 主要内容包括整除、最大公因子、素因子分解、同余、剩余类与剩余系、同余方程、剩余类单位群、原根与指标、二次剩余、二次互反律、算术函数、连分数、Pell 方程、二元二次型等, 附录则对本书所用到的代数学知识做一些必要的补充。整数的可除性理论乃数论的基础, 其核心内容为最大公因子理论和算术基本定理。本书第一章以带余除法为出发点建立整数的可除性理论, 并利用辗转相除法建立最大公因子理论。同余理论是数论的核心, 也是数论所特有的思想和方法。本书第二、三、四、五章深入讨论同余的基本性质、重要定理及其应用, 介绍Euler 定理与Fermat 小定理, 利用中国剩余定理与Hensel 引理研究同余方程的约化理论以及剩余类单位群的结构, 引入Legendre 符号和Jacobi 符号以及Gauss 二次互反律给出判定二次同余方程有解的一个有效算法。除了同余理论外, 本书还涵盖了算术函数、连分数、二元二次型等专题。第六章简要介绍算术函数的基础知识, 并给出一些重要算术函数的均值估计。第七章深入探讨连分数的性质及其在Pell 方程中的应用。第八章则是对二元二次型理论的介绍, 包括二次型的约化理论、复合律以及Gauss 亏格理论等。本书可作为数学类专业、特别是数学拔尖人才培养的初等数论课程教材或参考书, 也可直接作为拓展性较强的初等数论课程教材。

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